MAKALAH
“TABEL KEBENARAN”
Disusun Oleh :
Nama
: 1. Nur Anggarestu S.
2. Raka Prawira
Kelas
: 18-SI-01-PG
Dosen Pengampu : ROMADON, M.Pd
PROGRAM STUDI SISTEM INFORMASI
STMIK DIAN CIPTA CENDIKIA KOTABUMI
Jl.
Negara No.03 Candimas Kotabumi, Lampung Utara, Kode Pos
34581, Telp.
(0724) 23003,
E-mail :
stimik@dcc.ac.id
Tahun Akademik 2018/2019
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
Puji syukur kita panjatkan kepada Allah Subkhanallahuwata’ala. Sholawat
serta salam kita kirimkan kepada junjungan Nabi besar Muhammad
Sholallahu’alaihi Wassalam, karena atas hidayah-Nyalah paper ini dapat
diselesaikan. Paper ini penulis sampaikan kepada pembina Mata Kuliah
Pembelajaran logika informatika
bapak Romadon S.pd, M.Pd, sebagai tugas pendalaman pembelajaran Matematika.
Wassalamu’alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh.
Kotabumi,desember
2018
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR
……………………………................................................1
DAFTAR
ISI……………………………................................................................2
BAB I : PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Masalah …………………………...…...................................3
B. Rumusan
Masalah ……………………………........... ....................................3
C. Tujuan
……………………………...........................................……………...3
BAB II : PEMBAHASAN
A. Pengertian
Logika Matematika ……………………………............................4
B. Pernyataan
……………………………............................................................4
C. Kata
Hubung Kalimat…………………………….......................................... 5
D. Negasi dari
Pernyataan Majemuk…………………………………………..…8
E. Kontradiksi, Tautologi, dan Ekuivalensi Pernyataan-Pernyataan
Majemuk……………………………………………………………………..10
F. Hukum-Hukum Logika ……………………………..................................11.
G. Pernyataan
Berkuantor............................................................................12
H. Ingkaran
Pernyataan
Berkuantor............................................................12
I. Validitas
Pembuktian..............................................................................13
J. Bukti dalam
Matematika................................................................................15
K. Latihan
Soal……………………………........................................................16
L. Kunci
Jawaban……………………………....................................................16
BAB III : PENUTUP
A. Kesimpulan.....................................................................................................18
B. Saran
..............................................................................................................18
DAFTAR PUSTAKA
...............................................................................................19.
BAB 1
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang Masalah
Suatu kenyataan yang tidak dapat dibantah bahwa logika, penalaran dan
argumentasi sangat sering digunakan dalam kehidupan nyata sehari-hari,
didalam mata pelajaran matematika maupun mata pelajaran lainnya. Dalam arti
luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan
kesimpulan yang shahih dan yang tidak shahih. Karenanya logika sangat
berguna bagi siswa, disamping dapat meningkatkan daya nalar atau proses
berfikir yang terjadi di saat menurunkan dan menarik kesimpulan dari
pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar, namun dapat
diaplikasikan di dalam kehidupan nyata mereka sehari-hari. Tujuan
pembelajaran logika matematika pada dasarnya adalah agar para siswa dapat
menggunakan aturan-aturan dasar logika matematika untuk penarikan
kesimpulan.
Oleh karena itu, kompetensi yang hendak dicapai adalah agar para siswa
memiliki kemampuan dan keterampilan dalam hal mengembangkan dan memanfaatkan
logika yang dimiliki serta menambah pengetahuan tentang mata pelajaran
ini.
B.
Rumusan Masalah
1. Apa pengertian dari logika matematika ?
2. Apa saja kata hubung kalimat pernyataan majemuk ?
3. Bagaimana ingkaran dari pernyataan majemuk ?
4. Apa saja hukum-hukum logika ?
5. Apa saja yang digunakan untuk penarikan kesimpulan ?
C.
Tujuan
1. Untuk mengetahui pengertian dari logika matematika.
2. Untuk mengetahui kata hubung kalimat penyataan majemuk.
3. Untuk mengetahui ingkaran dari pernyataan majemuk.
4. Untuk mengetahui hukum-hukum logika.
5. Untuk mengetahui penarikan kesimpulan.
BAB 2
PEMBAHASAN
A.
Pengertian Logika Matematika
Logika Matematika atau Logika Simbol ialah logika yang
menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau
simbol- simbol.
Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas, univalent/bermakna
tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana.
B.
Pernyataan
Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang
mengandung arti. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau
salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah (pernyataan disebut juga
preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa
yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya. Perhatikan beberapa contoh
berikut!
1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam
2. 4 + 3 = 8
3. Rapikan tempat tidurmu!
Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan
keduanya adalah pernyataan. Kalimat 3 di atas tidak mempunyai nilai benar
atau salah, sehingga bukan pernyataan.
a)
Kalimat Terbuka
Adalah kalimat yang belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat terbuka
biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti
dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi
sebuah pernyataan.
Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu
dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang
menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan. Pengganti variabel
yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar,
disebut selesaian atau penyelesaian.
Contoh kalimat terbuka :
1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya
2. x + 2 = 8
b)
Pernyataan Majemuk
Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu
pernyataan-pernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan.
Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika :
1) Merupakan lambang operasi untuk negasi
2) Merupakan lambang operasi untuk konjungsi
3) Merupakan lambang operasi untuk disjungsi
4) Merupakan lambang operasi untuk implikasi
5) Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi
C.
Kata Hubung Kalimat
1.
Ingkaran atau Negasi
Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh
dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan” pada
pernyataan semula. Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang
atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”. Bila peryataan p bernilai benar,
maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya.
Contoh Soal :
Misalkan pernyataan
p : Tembakau yang mengandung nikotin.
Ingkaran penyataan p
~ p : Tidak benar bahwa tembakau mengandung nikotin.
Dengan tabel kebenaran
2.
Konjungsi
Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “dan”
sehingga membentuk pernyataan majemuk “p dan q” yang disebut konjungsi.
Konjungsi “p dan q” dilambangkan dengan “p q”. Konjungsi dua
pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya
bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah,
maka konjungsi itu salah.
Dengan tabel kebenaran
Contoh Soal :
Jika, p : Ima anak pandai
q : Ima anak cekatan
maka p ∧
q : Ima anak pandai dan cekatan
Pernyataan p ∧
q bernilai benar jika Ima benar-benar anak pandai dan benar-benar anak
cekatan.
3.
Disjungsi/ Alternasi
Pernyataan p dengan q dapat digabung dengan kata hubung logika “atau”
sehingga membentuk pernyataan majemuk “p atau q” yang disebut disjungsi.
Disjungsi p atau q dilambangkan dengan
“p q”. Dalam kehidupan sehari-hari, kata “atau” dapat berarti salah satu
atau kedua-duanya, dapat pula berarti salah satu tetapi tidak
kedua-duanya.
Berdasarkan pengertian di atas, dua buah pernyataan yang dihubungkan dengan
”atau” merupakan disjungsi dari kedua pernyataan semula. Dari pengertian
kata “atau” di atas maka muncul dua macam disjungsi yaitu sebagai
berikut.
a)
Disjungsi inklusif, yaitu dua pernyataan yang bernilai benar apabila paling sedikit satu dari
keduanya bernilai benar yang diberi simbol “∨". Untuk disjungsi inklusif dua pernyataan p atau q ditulis p ∨
q. sebagai contoh sekarang perhatikan pernyataan berikut ini, “Andi seorang
siswa yang pintar atau seorang atlit berbakat”. Pernyataan itu akan
menimbulkan penafsiran “Andi seorang siswa yang pintar, atau seorang atlit
yang berbakat, mungkin kedua-duanya”. Pernyataan dengan tafsiran seperti itu
merupakan contoh disjungsi inklusif. Untuk contoh yang lain perhatian contoh
berikut ini.
1) Persegi memiliki empat sisi atau empat sudut.
2) Adi membawa pensil atau bolpoin.
b)
Disjungsi eksklusif
Disjungsi eksklusif, yaitu dua pernyataan bernilai benar apabila hanya satu
dari dua pernyataan bernilai benar yang diberi simbol “⊻”. Disjungsi eksklusif dua pernyataan p dan q ditulis p ⊻
q. Sekarang perhatikan pernyataan sebelumnya lagi, “Andi seorang siswa yang
pintar atau seorang atlit berbakat”. Pernyataan itu akan menimbulkan
penafsiran “Andi seorang siswa yang pintar, atau seorang atlit yang
berbakat, tetapi tidak kedua-duanya (dipilih salah satu)”. Pernyataan dengan
tafsiran seperti itu merupakan contoh disjungsi eksklusif. Untuk contoh yang
lain perhatikan contoh berikut ini.
1) Andika lahir di Bali atau di Surabaya
2) Dua garis pada satu bidang sejajar atau berpotongan.
Tabel kebenaran disjungsi ekslusif di berikan sebagai berikut.
Catatan : Jika dalam suatu soal tidak diberikan keterangan, maka disjungsi
yang dimaksud adalah disjungsi inklusif.
4.
Implikasi
Implikasi “jika p maka q” dilambangkan dengan “p q”.
Dalam implikasi p ⇒
q, p disebut hipotesa (anteseden) dan q disebut konklusi (konsekuen).
Bernilai benar jika anteseden salah atau konsekuen benar, anteseden dan
konsekuen sama-sama benar, dan anteseden dan konsekuen salah, dan bernilai
salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.
Dengan tabel kebenaran
Contoh soal:
Jika, p : Matahari bersinar
q : udara terasa
hangat
Jadi, p q : “Jika matahari bersinar maka udara terasa
hangat”,
Jadi, bila kita tahu bahwa matahari bersinar, kita juga tahu bahwa udara
terasa hangat. Berdasarkan pernyataan diatas, maka untuk menunjukkan bahwa
udara tersebut hangat adalah cukup dengan menunjukkan bahwa matahari
bersinar atau matahari bersinar merupakan syarat cukup untuk udara terasa
hangat. Sedangkan untuk menunjukkan bahwa matahari bersinar adalah perlu
dengan menunjukkan udara menjadi hangat atau udara terasa hangat merupakan
syarat perlu bagi matahari bersinar. Karena udara dapat menjadi hangat hanya
bila matahari bersinar.
Dari suatu Implikasi p q dapat dibentuk pernyataan majemuk :
Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan
pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan
kontraposisi.
Ingkaran dari Implikasi Konvers, Invers dan Kontraposisi (Husein:
3013)
a) Ingkaran Konvers: ~ (p Þ q) º
(q ~
p)
b) Ingkaran Invers : ~(~ p Þ~ q) º
~p q
c) Ingkaran Kontraposisi: ~(~ q Þ~ p) º
~q p
5.
Biimplikasi atau Bikondisional
Biimplikasi “p jika dan hanya jika q” dilambangkan dengan “p q”.
Biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya
bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka
biimplikasi bernilai salah.
Dengan tabel kebenaran
Contoh Soal :
p : Saya memakai mantel
q : saya merasa dingin
maka, p q = “Saya memakai mantel jika dan hanya jika saya merasa
dingin”.
Pengertian kita adalah “Jika saya memakai mantel maka saya merasa
dingin” dan juga “Jika saya merasa dingin maka saya memakai mantel”.
Terlihat bahwa jika saya memakai mantel merupakan syarat perlu dan cukup
bagi saya merasa dingin, dan saya merasa dingin merupakan syarat perlu dan
cukup bagi saya memakai mantel. Terlihat bahwa kedua peristiwa itu terjadi
serentak.
D.
Negasi dari Pernyataan Majemuk
Berikut ini adalah pembahasan tentang negasi pernyataan majemuk, yaitu
negasi suatu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
1.
Negasi Suatu Konjungsi
Karena suatu konjungsi p ∧
q akan bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai benar. Maka
negasi suatu konjungsi p ∧
q adalah ~p ∨
~q; sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut:
Contoh Soal :
Jika, p : Ima anak pandai, dan
q : Ima anak cekatan.
maka p ∧
q : Ima anak pandai dan cekatan
Pernyataan p ∧
q bernilai benar jika Ima benar-benar anak pandai dan benar-benar anak
cekatan.
Apabila p ∧
q jika di negasikan menjadi ~p ∨ ~q
Maka ~p ∨
~q : Ima bukan anak pandai atau bukan cekatan
2.
Negasi Suatu Disjungsi
Negasi suatu disjungsi p ∨
q adalah ~p ∧
~q sebagaimana ditunjukkan tabel kebenaran berikut:
Contoh soal :
Jika p : Persegi memiliki empat sisi
q : empat sudut
maka, p ∨
q : Persegi memiliki empat sisi atau empat sudut
Apabila p ∨
q dinegasikan menjadi ~p ∧ ~q
Maka ~p ∧
~q : Persegi tidak memiliki empat sisi dan empat sudut
3.
Negasi Suatu Implikasi
Dengan demikian, p ⇒ q ≡ ~[~ (p ⇒ q)] ≡ ~( p ∧ ~q) ≡ ~p ∨ q
Contoh soal:
Jika, p : Matahari bersinar
q : udara terasa
hangat
Jadi, p q : “Jika matahari bersinar maka udara terasa hangat”
Apablia p ⇒
q dinegasikan menjadi p∧~q
Maka, p∧~q : matahari bersinar dan udara tidak terasa hangat
4.
Negasi Suatu Biimplikasi
Karena biimplikasi atau bikondisional p ⇔
q ekuivalen dengan
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p);
sehingga:
~ (p ⇔
q) ≡ ~[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
≡ ~[(~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)]
≡ ~(~p ∨ q) ∨ ~(~q ∨ p)]
≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
Contoh Soal :
p : Saya memakai mantel
q : saya merasa dingin
maka, p q = “Saya memakai mantel jika dan hanya jika saya merasa
dingin”.
Apabila p q dinegasikan menjadi (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Maka, (p ⇒ q) ∧ (q ⇒
p) : Jika saya memakai mantel maka maka saya merasa dingin dan jika saya
merasa dingin maka saya memakai mantel.
E.
Kontradiksi, Tautologi, Ekuivalensi Pernyataan-Pernyataan Majemuk
1.
Pengertian Kontradiksi
Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Contoh pernyataan: “Junus masih bujang atau Junus bukan bujang” akan selalu
bernilai benar tidak bergantung pada apakah junus benar-benar masih bujang
atau bukan bujang.
Jika p : junus masih bujang, dan ~p : junus bukan bujang, maka pernyataan
diatas berbentuk p ∨
~p. (coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran).
Setiap pernyataan yang bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran
komponen-komponennya, disebut tautologi.
2.
Pengertian Tautologi
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Contoh pernyataan: “Pratiwi seorang mahasiswa dan bukan mahasiswa”.
Pernyataan ini selalu bernilai salah, tidak tergantung pada nilai kebenaran
dari “Pratiwi seorang mahasiswa” maupun “Pratiwi bukan mahasiswa”.
Jika r : Pratiwi mahasiswa maka ~ r : Pratiwi bukan mahasiswa maka
pernyataan di atas berbentuk r ∧
~ r (Coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel
kebenaran).
Setiap pernyataan yang selalu bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran
dari komponen-komponen disebut kontradiksi. Karena kontradiksi selalu
bernilai salah,
maka kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi dan sebaliknya.
3.
Ekuivalensi Pernyataan – Pernyataan Majemuk
a) implikasi º
kontraposisi : p Þ q º ~ q Þ ~ p
b) konvers º
invers : q Þ p º ~ p Þ ~ q
c) ~(p Ù
q) º ~ p Ú
~ q : ingkaran dari konjungsi
d) ~(p Ú
q) º ~ p Ù
~ q : ingkaran dari disjungsi
e) ~(p Þ
q) º p Ù
~ q : ingkaran dari
implikasi
f) p Þ q º
~ p q
g) ~(p Û
q) º (p Ù
~ q) Ú
(q Ù
~ p) : ingkaran dari biimplikasi
F.
Hukum-Hukum Logika
G.
Pernyataan Berkuantor
Pernyataan berkuantor artinya pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas
atau jumlah. Pernyataan berkuantor mengandung kata semua, setiap, tiap-tiap,
ada, terdapat, beberapa dan sebagainya.
Terdapat dua macam kuantor, yaitu :
1. Kuantor Universal.
Disebut juga kuantor umum, ditandai dengan kata :
“semua, setiap, tiap-tiap” atau ditulis (x). Kuantor
universal dilambangkan (x),p(x).
Contoh Soal :
a) Semua siswa memakai seragam.
b) Tiap-tiap kelas selalu menjaga kebersihan.
c) Setiap manusia punya kesalahan.
d) Setiap bilangan asli adalah bilangan cacah.
2.
Kuantor Eksistensial.
Disebut juga Kuantor Khusus, ditandai dengan kata :
“ Ada, terdapat, beberapa “ atau ditulis (x). Kuantor
eksistensial dilambangkan (x), p(x)
Contoh Soal:
a) Ada siswa yang tidak mengerjakan PR.
b) Terdapat bilangan prima yang genap.
c) Beberapa kelas sedang tidak belajar.
H.
Ingkaran Pernyataan Berkuantor
1.
Ingkaran Kuantor Universal
Ingkaran dari pernyataan majemuk “untuk semua x, sehingga berlaku p(x)”
adalah “ada x, sehingga berlaku bukan p(x)”,ditulis ~[(x), p(x)] (x),
~p(x)
Contoh Soal :
p : Semua kucing berwarna putih.
-p : Tidak benar bahwa semua kucing berwarna putih.
-p : Ada kucing yang tidak berwarna putih.
Secara umum ingkaran dari semua adalah ada/beberapa, dan dilambangkan
:
– ( (x),p(x)) (x), -p(x)
2. Ingkaran Kuantor Eksistensial.
Ingkaran dari pernyataan “ada x, sehingga berlaku p(x)” adalah “untuk semua
x, sehingga berlaku bukan p(x)”, ditulis ~[($x), p(x)] º ("x), ~p(x)
Contoh Soal:
p : Adaperempuan yang menjadi presiden.
-p : Tidak ada perempuan yang menjadi presiden.
-p : Semua perempuan tidak menjadi presiden.
Secara umum ingkaran dari Ada/beberapa adalah semua, dan dilambangkan
:
– ((x), p(x) ) (x),-p(x)
I. Validitas Pembuktian
. 1
Premis dan Argumen
Premis adalah pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu
kesimpulan, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma,
hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.
Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri
atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence)
dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to)
diturunkan dari premis-premis.
2.
Validitas Pembuktian (I)
a) Modus Ponen
Premis 1 : p q
Premis 2 : p
Konklusi : q
Contoh Soal :
Premis 1 : Jika saya
belajar, maka saya lulus ujian (benar)
Premis 2 : Saya belajar
(benar)
Konklusi : Saya lulus
ujian (benar)
Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi) menunjukkan
validitas dari bentuk argumen modus ponen.
b) Modus Tolen :
Premis 1 : p q
Premis 2 : ~ q
Konklusi : ~
p
Contoh Soal :
Premis 1 : Jika hari hujan
maka saya memakai jas hujan (benar)
Premis 2 : Saya tidak
memakai jas hujan (benar)
Konklusi : Hari tidak
hujan (benar)
Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi, sehingga jika q tidak
terjadi maka p tidak terjadi.
c) Silogisma :
Premis 1 : p q
Premis 2 : q r
Konklusi : p r
Contoh :
Premis 1 : Jika kamu
benar, saya bersalah (B)
Premis 2 : Jika saya
bersalah, saya minta maaf (B)
Konklusi : Jika kamu
benar, saya minta maaf (B)
d) Silogisma Disjungtif
Premis 1 : p q
Premis 2 : ~ q
Konklusi : p
Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus
bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid.
Premis 1 : p ∨ q
Premis 2 : q
Konklusi : ~ p
Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus
bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka sillogisma disjungtif di atas
adalah valid.
Contoh Soal :
1) Premis 1 : Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (B)
Premis 2 : Pengalaman ini tidak berbahaya (B)
Konklusi : Pengalaman ini membosankan (B)
2) Premis 1 : Air ini panas atau dingin (B)
Premis 2 : Air ini panas (B)
Konklusi : Air ini tidak dingin (B)
3) Premis 1 : Obyeknya berwarna merah atau sepatu
Premis 2 : Obyek ini berwarna merah
Konklusi : Obyeknya bukan sepatu (tidak valid)
e) Konjungsi
Premis 1 : p
Premis 2 : q
Konklusi : p q
Artinya : p benar, q benar. Maka p q benar.
f) Tambahan (Addition)
Premis 1 : p
Konklusi : p q
Artinya : p benar, maka p q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai
salah yang
dimiliki q).
g) Dilema Konstruktif :
Premis 1 : (p q) (r
s)
Premis 2 : ~ q ~
s
Konklusi : ~ p ~
r
J.
Bukti dalam Matematika
1.
Pembuktian Tidak Langsung
Pembuktian-pembuktian yang telah kita bicarakan di atas, merupakan
pembuktian yang langsung. Suatu argumen adalah valid secara logis jika
premis-premisnya bernilai benar dan konklusinya juga bernilai benar.
Berdasarkan pemikiran ini, jika premis-premis dalam suatu argumen yang valid
membawa ke konklusi yang bernilai salah, maka paling sedikit ada satu premis
yang bernilai salah. Cara pembuktian ini disebut pembuktian tidak langsung
atau pembuktian dengan kontradiksi atau reductio ad absurdum.
Contoh Soal :
Premis 1 : Semua manusia tidak hidup kekal (Benar)
Premis 2 : Chairil Anwar adalah manusia (Benar)
Buktikan bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal” (premis 3) dengan
melakukan pembuktian tidak langsung.
Bukti :
Kita misalkan bahwa : Chairil Anwar hidup kekal (premis 4) (dan kita anggap
bernilai benar).
Maka berarti : Ada manusia hidup kekal (premis 5).
Tetapi premis 5 ini merupakan negasi dari premis 1. Yang sudah kita terima
kebenarannya.
Oleh karena itu premis 5 ini pasti bernilai salah.
Karena premis 5 bernilai salah maka premis 4 juga bernilai salah. Sebab itu
premis 3 bernilai benar.
Jadi terbukti bahwa “Chairil Anwar tidak hidup kekal”.
Ringkasannya, kita dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai benar,
dengan menunjukkan bahwa negasi dari pernyataan itu salah. Ini dilakukan
dengan menurunkan konklusi yang salah dari argumen yang terdiri dari negasi
pernyataan itu dan pernyataan atau pernyataan-pernyataan lain yang telah
diterima kebenarannya.
LATIHAN SOAL
1. Amati pernyataan berikut ini:
p : Hari ini ahmad pergi ke toko buku
q : Hari ini ahmad pergi ke supermarket
Ubah kedua pernyataan diatas dengan logika matematika di bawah ini:
A. p q
B. p ~q
C. ~ p q
D. ~ p ~q
2. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di bawah
ini:
"Jika hari ini hujan maka Wayan mengendarai mobil"
3. Tentukan kesimpulan dari premis berikut:
Premis 1 : Jika Panji rajin belajar maka ia lulus ujian
Premis 2 : Jika Panji lulus ujian maka ia masuk universitas
4. Tentukan negasi dari pernyataan:
a) Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.
b) Hari ini tidak mendung dan Budi membawa payung
5. Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk dari (~p ∧ r) ∨ (~r ⇒ q)
KUNCI JAWABAN
1. Penyelesaian :
A. p q : Hari ini Ahmad pergi ke toko buku dan supermarket
B. p ~q : Hari ini Ahmad pergi ke toko buku dan tidak ke
supermarket
C. ~ p q : Hari ini Ahmad tidak pergi ke toko buku tetapi ke
supermarket
D. ~p ~q : Hari ini Ahmad tidak pergi ke toko buku dan tidak ke
supermarket
2. Penyelesaian :
Pernyataan di atas adalah implikasi p q sehingga:
p : Hari ini hujan
q : Wayan mengendarai mobil
Konvers dari pernyataan tersebut adalah q p
"Jika Wayan mengendarai mobil maka hari ini hujan"
Invers dari pernyataan di atas adalah ~p ~q
"Jika hari ini tidak hujan maka Wayan tidak mengendarai mobil"
Kontraposisi dari pernyataan tersebut adalah ~q ~p
"Jika Wayan tidak mengendarai mobil maka hari ini tidak hujan"
3. Penyelesaian :
Kita gunakan prinsip silogisme
Premis 1 : p Þ q
Premis 2 : q Þ r
Konklusi : p Þ r
Maka kesimpulannya adalah : "Juka Panji rajin belajar maka ia masuk
universitas"
4. Penyelesaian :
Ingkaran (negasi) dari konjungsi.
a) Bogor hujan lebat dan Jakarta tidak banjir.
Ingat:
~(p ∧ q ) º ~p ∨ ~q
Sehingga ingkarannya adalah:
Bogor tidak hujan lebat atau Jakarta banjir.
Hari ini tidak mendung dan Budi membawa paying
Ingat:
~(p ∧ q ) º ~p ∨ ~q
Sehingga ingkarannya adalah:
Hari ini mendung atau Budi tidak membawa paying
5. Penyelesaian :
BAB III
PENUTUP
A.
KESIMPULAN
Logika Matematika atau Logika Simbol ialah logika yang
menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau
simbol- simbol. Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas,
univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana.
Mata pelajaran Logika Matematika mempelajari beberapa hal yang berkaitan
dengan logika, seperti logika secara kalimat, logika dalam pemrograman dan
logika dalam rangkaian digital. Logika dalam kalimat dinyatakan sebagai
proposisi dan pola-pola argumen/pernyataan logis dengan hukum-hukum logika.
Logika dalam pemrograman diperlihatkan dengan struktur dasar dari
pemrograman dan aliran/kontrol program dengan flow chart. Logika dalam
rangkaian digital diperlihatkan dengan logika biner dan gerbang-gerbang
logika serta penyederhanaan dalam rangkaian.
Di dalam pembelajaran logika matematika ini membahas tentang pernyataan
majemuk beserta negasinya, hukum-hukum logika, kontradiksi, tautologi,
ekuivalensi pernyataan-pernyataan majemuk, dan juga penarikan
kesimpulan.
B. SARAN
1. Diharapkan siswa dapat memahami mata pelajaran logika matematika dan
mengaplikasikannya dalam kehidupan nyata.
2. Penulis dalam menulis makalah ini menyadari masih banyak kekurangan, oleh
karena itu pembaca diharapkan memberikan kritik dan saran jika menemukan
kesalahan dalam penulisan makalah ini.
DAFTAR PUSTAKA
Anonym. 2013. ”disjungsi nilai kebenaran pernyataan” (online),
http://mafia.mafiaol.com/2013/06/disjungsi-nilai-kebenaran-pernyataan.html, diakses tanggal 25 Maret 2016
Blogspot. 2014. “Makalah Logika Matematika” (online),
(http://irwansahaja.blogspot.co.id/2014/11/makalah-logika-matematika.html), diakses tanggal 25 Maret 2016
Joko, jokom 42. 2012. “logika-matematika” (online),
https://jokom42joko.wordpress.com/2012/01/04/logika-matematika/, diakses tanggal 27 Maret 2016
Matematikastudycenter. ”sma soal pembahasan logika matematika”
(online),
http://matematikastudycenter.com/kelas-10-sma/93-10-sma-soal-pembahasan-logika-matematika, diakses tanggal 23 Maret 2016
Rumusmatematikadasar. 2015. ”contoh soal logika matematika dan
pembahasannya sma kelas 10” (online),http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/01/contoh-soal-logika-matematika-dan-pembahasannya-sma-kelas-10.html, diakses tanggal 25 Maret 2016
Smartblogmathematic. “ingkaran” (online),
https://smartblogmathematic.wordpress.com/ingkaran/, diakses tanggal 27 Maret 2016
Sriyanto. 2007.
Quick Math (Cara Cepat Belajar Matematika).Yogyakarta : Penerbit
Indonesiatera.
Tampomas, Husein. 2013.
Seribu Pena Matematika untuk SMA/MA kelas X. Jakarta : Penerbit
Erlangga.